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\chapter{总结与展望}



本文研究各向异性扩散方程的线性精确有限体积格式及其应用.
首先基于线性精确准则, 推导了三维多面体网格上的菱形格式.
然后, 使用线性精确准则, 构造三维多面体网格上的两种线性精确的顶点插值算法. 两种顶点插值算法在任意多面体网格和任意各向异性扩散张量下都保持线性精确性质.
最后, 研究了各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式在多孔介质两相流模型的应用.

线性精确思想作为一种在扭曲网格上构造扩散方程高精度有限体积格式的启示性途径, 要求当问题的精确解是分片线性函数并且扩散系数是分片常数时, 格式中的所有离散步骤精确成立.
基于线性精确准则, 我们完成了:
\begin{enumerate}
    \item 将二维九点格式推广到三维菱形格式. 菱形格式的名称源于通量近似所采用的菱形模板, 网格面上的法向流表示为面两侧的单元未知量和面上的顶点未知量的组合.
    \item 构造三维多面体网格上的两种线性精确的顶点插值算法, 用单元中心的主未知量消除了顶点辅助未知量. 第一种顶点插值算法使用多点通量近似结合取极限过程获得, 第二种顶点插值算法使用最小二乘技术结合图搜索算法获得. 搭配第二种顶点插值算法eLSW的菱形格式在一般网格上几乎达到了最优收敛率. 通过图搜索算法和梯度过渡技术建立了从原始空间到相空间的坐标变换.
    无论扩散系数是否间断, 在相空间中梯度都是常数.
    eLSW算法在相空间中求解具有四个未知量的最小二乘问题,
    这与经典最小二乘算法相同.
    eLSW的一个缺点可能是,
    插值公式\eqref{ch2:eq:finalweight}仅在假设\ref{ch2:A1}成立时才有效.
    尽管目前我们无法证明在相空间中最小二乘问题存在唯一解, 但在数值测试中我们从未遇到过反例, 并且在注释\ref{ch2:rmk:fail}中给出了一些可能的应急策略.
    \item 研究了各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式在多孔介质两相流模型的应用. 数学模型包括压力的扩散方程和饱和度的非线性双曲方程. 本文根据线性精确的思想, 推导一类二阶精度的单元中心型有限体积格式, 并将其应用于多孔介质两相流数值模拟. 结合双曲守恒律中广泛使用的二阶单调MUSCL格式求解饱和度方程, 进而形成格式可扩展的两相流模拟器.
\end{enumerate}

我们将继续研究实用且高精度的扩散格式,
包括构造新的单元中心格式以及对已有的格式进行单调改进.
此外, 未来的一些工作包括将本文的算法应用于实际的多材料物理问题、三维放射性核素输运问题等等.
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